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线性空间·欧氏空间·3维(四)——初等变换
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做这个视频时我把“矩阵对角化”和“对矩阵进行初等变换”这两个不同意义的概念混淆了。这里澄清一下。 “矩阵对角化”是通过坐标变换把线性变换的矩阵转化为对角矩阵,就是我们在求矩阵的特征值时所做的。并不是每个矩阵都能对角化的,只有与某个对角矩阵相似的矩阵才能对角化。 而我们这节所讲的是“对矩阵进行初等变换”,任何矩阵都可以进行初等变换,并且不只n行n列的方阵,也可以是n行m列的矩阵(n≠m)。如果原来的矩阵对应的方程组有唯一一组解,则经过初等变换后可以得到对角矩阵。但如果方程组无解或不只一组解,则变换后最终得到的矩阵就可能不是对角矩阵,也可能是某种(非0元素排列成的形状像)梯形的矩阵。这个视频的重点是初等变换,我做视频时顾着讨论方程组的只有唯一一组解的情形,忘了考虑方程组无解和有无数多组解的情形。后两种情形更详细的讨论看《(六)矩阵的逆与方程组的解》一节。
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