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根号2为无理数的证明及高效算法
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假设√2为有理数,那么√2−1也为有理数,且是一个介于0和1之间的有理数。 我们记之为r=p/q,这里p和q为两个互素的正整数。 因为0<r<1,我们有极限lim┬n→∞r^n=0。 然而,显然r^n具有这个形式,即r^n=(√2−1)^n=A_n√2−B_n,其中A_n和B_n都是正整数。如果√2是1∕q的整数倍,那么A_n√2−B_n也是1∕q的整数倍,那么其与0的距离是1∕q的整数倍,又因为其肯定不等于0,所以其与0的距离至少是1∕q,不能更小! 这与前面的极限lim┬n→∞r^n=0矛盾! 所以√2只能是无理数。这个证明甚至提供了一个计算√2的高效算法!
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