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GeoGebra研究倒摆与对称性自发破缺(含拉格朗日方程推导)
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本视频先介绍了什么是倒摆,然后开始写出倒摆系统的拉格朗日量,通过保守体系的拉格朗日方程推导了其运动微分方程,从而给GeoGebra采用NSolveODE指令模拟其运动情况奠定了基础,接着我们从其微分方程可以看出如果引入一个无量纲量,并对余弦函数进行泰勒展开保留三项,运动微分方程出现了一种对出现对称性破缺的数学结构,我们给出了其势能函数图像,并说明了什么叫做对称性破缺,且详细推导并对比了倒摆的势能函数和理论的特征函数,通过理论预言了当λ>1时,平衡位置在θ=0处,且为稳定平衡;当λ<1时,平衡位置有三处,在θ=0处的平衡位置为非稳定平衡,而在θ=±sqrt(6 (1-λ))处的平衡位置为稳定平衡。接着通过GeoGebra的模拟,很好的验证了理论。在这项探究活动中,我们运用了理论+模拟结合的方法,理论可以验证物体的运动情况,甚至预言一些有趣的平衡位置,但缺少直观感受的物理总是缺了点味道,而通过GeoGebra的模拟,我们看到了理论预言的现象,且这个模拟是完全基于理论的,因此模拟的成功又反过来加深了我们对公式的信心和直观感受,两者完美的结合一定会更有利于我们对物理知识的理解,值得多多推广!
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