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罗宾·科克特的图灵范畴
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Topos Institute https://www.youtube.com/watch?v=Pkxb5h7ZL44 这个视频是罗宾·科克特关于图灵范畴的讲座,献给彼得·霍夫斯特拉。图灵范畴被描述为一种抽象的可计算性,涉及到在部分定义函数的背景下的可计算映射。目标是用图灵对象和图灵映射从范畴的角度重建递归理论。 视频一开始回顾了限制范畴,也就是部分映射的抽象理论。限制范畴是通过四个公理定义的,并引入了在限制范畴内的全映射的概念。接着,视频讨论了时间集合,这是一种映射有时间关联的范畴,以及如何利用复杂度顺序来比较这些有时间标记的映射的复杂性。这引出了基于多项式时间复杂度构建的限制范畴。 讲座随后介绍了图灵范畴,作为具有图灵结构的笛卡尔限制范畴。图灵结构由一个对象和一个“子弹”操作组成,可以对映射进行编码。视频解释说,图灵范畴中的每个对象都是图灵对象的一个回缩,而图灵对象本身形成了一个部分组合代数(PCA)。反过来,在笛卡尔限制范畴中给定一个PCA,可以通过考虑可计算映射来构建一个图灵范畴。 一个关键点是识别多项式时间映射范畴中的PCA,从而统一了可计算性和复杂性。这表明复杂性理论家们隐含地在特定的图灵范畴中工作。令人惊讶的是,图灵范畴甚至可以捕捉到线性时间这样低的复杂性类。 视频最后提出了一些开放性问题和未来研究的方向,包括初始图灵范畴的存在及其性质,图灵范畴的重写理论的发展,反射图灵对象及其与λ演算的联系,特定图灵范畴中的可计算性研究,以及在其他范畴环境中如对称单模范畴、多范畴、微分范畴和多项范畴中研究图灵对象。演讲者还提到了丘奇-图灵论题,暗示多种可计算性概念的存在挑战了其传统解释。
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