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群作用【抽象代数】【代数学基础】(建议看简介)
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请善用暂停、倍速和视频目录哦。教材获取地址见https://afdian.net/a/JierJohnPeter。 Burnside计数定理我要特别说明,视频中称“可以理解为(g, x)的数量”是证明思路,这是错的,错的,错的!请直接忽视这一句提示。教材中本来这个定理是留作习题的,但我怕不一定做得出来,于是刚刚改为引理,写了证明,预计十月更新的教材里就能看到了。另,我在小时百科也早就写过这个证明:https://wuli.wiki/online/GroupP.html#ex_GroupP_3。 给定群G和集合X,那么群作用就是G到置换群S_X上的一个群同态。也就是说,能用群作用的概念解决的问题,都能用群同态的语言表述,为什么还要讲群作用? 因为群作用有几何直观,对于特定问题更容易找到思路。 最明显的几何直观,大概是“轨道”的概念,即给定集合X中的一个元素,它被G中的全体元素作用后所得结果的集合。你可以想象成G中的元素像一张公交车路线表,给定一个站点x,它告诉你下一站gx是哪里;G中不同的元素对应不同的路线表。 本节我们介绍了三个重要定理,分别是“轨道-迷向子群定理”、“同轨道的元素,其迷向子群互为共轭子群”以及“Burnside计数定理”。轨道-迷向子群定理揭示了轨道和迷向子群的左陪集之间一一对应的关系,证明很简单,但这个结论很漂亮。它可以推论出不那么直观但极其重要的Burnside计数定理,是研究很多群结构时的利器。
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