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【汉语配音】复变函数的积分、柯西定理和留数定理(上)【锦南】
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视频原创作者:Mathemaniac 视频来源: https://www.youtube.com/watch?v=EyBDtUtyshk&list= PLDcSwjT2BF_UDdkQ3KQjX5SRQ2DLLwv0R&index=11 翻译人员:Billy.Giga,罗仕明、彭培豪 复数是16世纪人们在解代数方程时引入的。 在17世纪和18世纪,达朗贝尔和欧拉等人阐明了复数的几何意义和物理意义,澄清了复数的概念。 随着微积分的发展,人们开始研究单复变函数。在19世纪,柯西的积分理论、魏尔斯特拉斯的无穷级数理论和黎曼的共形映射理论构成了优美的单复变函数论。 如今,复分析除了单复变函数论以外,还包括多复变函数论。多复变函数论是一个富有生命力的新兴的数学分支,但仅仅是最基础的内容都需要大量的铺垫,多复变函数论甚至没有本身独立的研究工具,它的研究涉及到数学的很多分支。 在没有特殊说明的情况下,复分析特指单复变函数论,此外,我们常说的复变函数也经常特指可微的复变函数(全纯函数)。 复分析的教材通常是从柯西积分理论开始的,以线积分为核心工具。那里面的一些重要结论有柯西定理、柯西积分公式、留数定理等。其中留数定理把积分的计算转变为留数的计算,这是一种本质上的转变,它可以帮助我们计算很多复杂的反常积分,包括计算一些复杂函数的拉普拉斯变换和傅立叶变换(以及它们的逆变换)。 笼统地说,复分析在物理学和工程领域有大量的应用。物理上包括流体力学和热力学的分支,尤其是量子力学,例如在弦论中,复分析用于检验量子场论中的共形不变量。复分析在工程中的应用领域包括核能、航空航天、机电工程等,例如茹科夫斯基变换对于机翼的设计有着重要的应用。 假如我们只知道实数会怎么样?那样的话,我们大概永远都发现不了留数定理、共形映射等虽然初步但却应用十分广泛的工具了。因为实空间里面没有那样的线索。例如,我们甚至需要进入复数域才能真正理解为什么1/(1+x^2)在0处展开的泰勒级数的收敛半径是1。 本视频系列没有常规地介绍复分析的数学理论,例如重要的黎曼映射定理就没有涉及到,而是把复分析的一些初步内容以直观的、强调几何直觉的、容易让更多大众接受的方式进行讨论,主要是面向物理和工程中的应用而非数学中的理论。
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