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【汉语配音】并非一切都是勒贝格可测的【锦南】
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视频原创作者:The Bright Side of Mathematics 视频来源:https://www.youtube.com/watch?v=z5m6HXKx0Wo&list=PLBh2i93oe2qvMVqAzsX1Kuv6-4fjazZ8j&index=4 翻译人员:Billy.Giga,罗仕明、彭培豪 测度论的诞生源于19世纪的一系列奇怪的问题。 在微积分中,相信大家已经见过一些数学家称之为病态的函数,比如狄利克雷(Dirichlet)函数。它在有理数点上取值1,无理数点上取值0,因此它在定义域中是处处不连续的。不管将函数的定义域划分成多么小的区间,每个小区间内都有无理数和有理数(稠密性),于是函数的取值会在0和1之间跳跃,所以用我们经典的黎曼积分法,它是不可积的。 于是数学家们在这里就碰了壁,这是黎曼积分的定义出现了问题吗?是否应该引进一种新的积分?狄利克雷函数是有界的,但它却没有积分。对数学家来说,这些函数是病态的,但对物理学家来说这些函数有时却是有用的。所以数学家们就想,能不能推广积分的概念,让它能够适用这些病态的函数呢?这之后就出现了著名的勒贝格积分,这也是本系列课程要介绍的主题。 众所周知,我们在黎曼积分中是对自变量x轴进行划分,但勒贝格想,如果我们是对因变量y轴进行划分呢?我们把y轴分割为许多小的区间,对于每个小区间,与之对应的自变量的点将形成一个集合,在函数不连续的情况下,这个集合可能不是一条线段,它可能是很多个不相连的区间,甚至可能只是一些分散的点。这时候想通过面积来逼近积分,就要明确x轴上对应的那些集合的“长度”是什么。而测度论,就是为了把长度概念扩充到普通直线上非完整区间的点集而引进的。把握了这条思路,我们就能够顺理成章地展开讨论测度论了。 后来,勒贝格的思想带来了许多应用。数学家们对积分概念进行了一系列的推广,例如拉东积分、丹尼尔积分等等。另外,苏联数学家柯尔莫哥洛夫于1933年从测度论的观点出发,明确定义了“随机事件”、“概率”、“随机变量”、“期望”等基本概念,完善了现代概率论的公理化基础。不过一门新理论的发展总是不平坦的,勒贝格的工作一开始也没能得到关注和理解,就连他自己也说道:“对许多数学家来说,我成了没有导数的函数的人。” 本视频从σ代数开始,在σ代数上建立了抽象测度论,这是一种公理化的定义方式,作者用定义-解释-举例的思路,带领大家走进测度论。跟着作者的脚步,大家会看到这些定义实际上都来自我们对普通欧几里得长度的推广。然后进一步,我们就来到了勒贝格积分。勒贝格积分相比与经典的黎曼积分,不仅可积范围大大增加,而且积分的适用范围也更加广泛。广义的勒贝格积分,是对于一个在一般测度空间(的子集合)上的函数积分。本系列课程预设观众已经有微积分与集合论的一些基本知识,并且主要针对物理系与工程系的学生开设。
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