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泊松括号与李括号(看简介,快看!)【经典量子力学3番外】
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【更新简介】开了微分几何课,讲了切向量和余切向量的话题,学懂就能完全理解本课内容啦! 指路: https://www.bilibili.com/video/BV1eR4y1r7Xr/?vd_source=4e6949b761ec235013af3512dfe31801 https://www.bilibili.com/video/BV1X14y1P7Ka/ 放飞自我了,同学们可以根据视频中的目录跳着看。这节课是把本应很多节课慢慢讲的经典力学概念集中到一起了,所以初次看不能完全懂的话很正常。全部硬啃完应该能理解清楚所有术语的含义,但是跳着看的话,偶尔出现一些不太理解的术语应该也不影响大致理解。我的建议是看明白多少都是收获,有大致的整体理解的话(即到看懂简介里说的程度)就算达到我的目标了。当然如果多看几遍,慢慢把概念啃清楚绝对是很大的收获。 以下是内容简介,可以作为“我该怎么看怎么学”的指导。 这节课讲的是经典力学中的泊松括号和量子力学中的李括号的关系,需要涉及经典力学的几何诠释,所以我花了很多篇幅讲了点流形的概念。 本段是经典力学的几何解释:经典力学中,系统的状态集合构成一个流形,通常不是欧几里得空间(考虑各种约束条件)。给定哈密顿函数,通过哈密顿方程可以解出系统的运动曲线。几何诠释中,哈密顿方程表达为流形切丛上的一个“度量”,称为辛形式(也可以说,对于任意一点处的切空间,辛形式表现为一个“度量”)。它虽然没有度量该有的正定性和对称性,但也可以像度量一样定义出对偶度量,以及进行指标升降。哈密顿函数就是流形上的函数,每个函数对应一个“余切向量场”(视频中会展开解释),用辛形式的对偶做指标上升,就可以把这个余切场变成一个切场,该切场就是给定函数的哈密顿流。哈密顿流生成一族曲线,这族曲线就是哈密顿方程的解。 泊松括号是用两个函数生成新的函数:{f, g},它实际上就是两个函数的哈密顿流用辛形式求出的“度量”。所以你看,从辛形式的角度很容易看出泊松括号为什么如此基本。 在任意流形上,总可以定义两个切向量场之间的李括号:[X, Y],它也是一个切向量场。考虑到辛流形(配备了辛形式的流形)上,函数总对应作为切向量场的哈密顿流,因此不难想到如何联系泊松括号和李括号。 事实上,给定两个函数,则它们的 哈密顿流的李括号,就等于它们的 泊松括号的哈密顿流(再乘以-1,取决于泊松括号或李括号具体的定义方向)。这就是辛流形上泊松括号和李括号的联系。 但辛流形是经典力学的东西,如何和量子力学扯上关系呢? 哈密顿流作为切向量场,生成了一族曲线。如果哈密顿函数是能量函数,那么这族曲线就是系统态点的演化轨迹,或者说“时间平移”;但哈密顿函数也可以是动量函数,所得哈密顿流的曲线就是“空间平移”;同样,位置函数则得到“动量平移”。角动量麻烦一些,暂且不谈。量子力学中,能量、位置、动量算子分别是时间平移、空间平移、动量平移的生成元,因此这几个测量算子就对应经典力学中能量、位置、动量函数的哈密顿流,算子的李括号就对应哈密顿流的李括号。 就这么简单。
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