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高等代数简明教程习题 第二章习题五 1-总论 计算方阵n次方的主要方法
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求解给定方阵的n次方的计算问题,因为包含不确定的正整数n,要比普通的计算题要有意思一些,所以我这里展开讲几个。 首先,总的来说,这类问题我们目前有两类方法: 1. 先算几个小的n,如果能猜出规律,则用数学归纳法证明。这个方法有非常明显的局限性:数学归纳法只能证明已有的结论,无法帮助我们得到未知的公式。(关于数学归纳法,希望进一步了解的同学可以去看我之前的专题BV1fb4y1S7qd) 2. 把矩阵分解成两部分的和,再利用二项式定理。需要注意的是,这两部分必须是可交换的,否则不成立。这也是我讲解后面几个习题主要用到的方法。 未来我们可以利用Jordan标准形可以处理更复杂的矩阵,不过这是第七章的事情了。
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