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数学专业课复试专题系列——实变函数论(集合与测度,可测函数)
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实变函数论是数学专业的一门重要的基础课,一般在大二下学期开设,需要学习者有较为良好的数学分析基础.这门课的主要内容是通过引入测度这一概念,将Riemann积分的概念进行了推广,得到了如Lebesgue积分或Lebesgue-Stieltjes积分等,并进一步降低了交换运算与取极限间次序对于收敛性的要求.这些内容在概率论,偏微分方程,泛函分析,金融数学等学科中有着广泛的运用.通常来说实变函数是整个本科阶段数学阶段较为难学的一门课,其难点主要表现在对测度这一概念感到十分抽象与陌生,所以目前一个较为“可行”的方法是对测度论仅做简单介绍之后,直接引入可测函数与积分的相关内容,但其局限性在于后续的内容无法进一步拓展和推广.我的整理内容主要来自于(1),但学习(1)前我是先学习了(3)并完成了相关习题,(1)中对于测度的相关概念讲解深入,并且相较于(1)有许多细节的补充.由于篇幅所限,并且针对于考研复试,故诸如Zorn引理,连续统假设,环的延拓,不可测集的构造等内容并未收入.这是我第一次尝试教材(1),欢迎指正!
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