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有手就行的MIT常微分方程第一讲|18.034 L0-L2 Ordinary Differential Equations Birkoff & Rota ODE
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[BR] Sec. 1.1 Terminology & Implicit Solutions 1. 对普通微分方程(ODEs)及其细微之处进行了简要介绍。首先,将微分方程定义为未知函数及其值、已知量和函数之间的指定导数之间的方程。文档仅关注未知数为单变量函数且方程中最大的整数阶数。通常使用的符号表示独立变量记为t或x,未知数记为y或u、v。定义了线性微分方程和齐次微分方程,其中后者的形式为f(t)=0。简要介绍了微分方程组的概念。 2. 对初始值问题进行了定义,初始值问题是在给定区间中找到微分方程的解,解满足区间内某个点上给定的数值或条件。文档还讨论了隐式解的概念,其中一个方程隐含地定义了另一个微分方程的解。还简要提到了坐标的含义及其在数学表达中的相关性。 [BR] Sec. 1.2 Fundamental Theorem of the Calculus & Method by Quadrature 1. 微分方程的求解方法,包括通过积分求解一阶线性微分方程和可分离变量的非线性微分方程。 2. 通过积分和分部分式法求解特殊类型的微分方程,如线性分式微分方程和二阶微分方程。 3. 强调了无法用初等函数表达的函数,如 Fresnel 正弦积分函数,可以通过定积分来定义。 4. 讨论了微分方程的解形成一参数曲线族的特点,以及解的特殊性质和存在唯一性定理。 5. 介绍了微分方程分析的基本原理,包括一阶线性和非线性微分方程的解法,以及特殊类型的二阶微分方程的求解方法。 [BR] Sec. 1.9 Fundamental Principles - Linearity, Existence and Uniqueness, Stability 1. 线性性质和超定原理:介绍了线性微分算子的定义和性质,以及超定原理的应用。线性微分算子满足线性性质,即对于任意常数和函数,线性微分算子作用于它们的线性组合等于这些函数分别作用于线性微分算子后的线性组合。这一性质在解决线性微分方程时起到重要作用。 2. 存在性和唯一性:讨论了微分方程解的存在性和唯一性问题。存在性指的是至少存在一个解,而唯一性指的是最多只有一个解。通过具体的微分方程例子,说明了存在性和唯一性的区别以及其在物理系统建模中的重要性。 3. 失去唯一性的情况:给出了失去唯一性的一些情况,例如在特定条件下微分方程可能存在多个解,甚至形成参数化的解族。此外,还介绍了分支点(bifurcation point)的概念,以及失去唯一性在物理系统中的意义和应用。 4. 具体例子和练习:通过具体的微分方程例子和练习,展示了线性微分算子的应用、解的存在性和唯一性问题,以及失去唯一性的情况。这些例子和练习有助于加深对微分方程基本原理的理解和掌握。
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