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我们可以求向量的幂吗? d/dx? 向量场? exp 是什么? | 李群,代数,李括号 # 4
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https://www.youtube.com/watch?v=9CBS5CAynBE&t=81s 版权所有:Mathemaniac 2024年1月2日 机器翻译: 下载文件: 进入 https://www.mathemaniac.co.uk/download ,输入以下密码: 章节: 00:00引言 01:03什么是指数? 04:15指数向量 11:23指数化导数 24:04矢量场指数化 ❗Remark❗ 我知道很多人会想到指数级数展开式。我故意避免这一点,因为它不利于学习指数的直觉,更重要的是,它不适用于流形上向量的指数。这个结果是非常依赖于流形的,如果对于微分几何中的指数映射有一个类似于级数的解释,我将会非常感动。 2然而,我想知道: 视频中的翻译算符语句是否可以推广到流形?对于一个平面,我们有 exp (a * nabla) f (x) = f (x + a)。事实上,R ^ n 的平坦流形上的指数映射给出了 x + a = exp _ x (a)。因此,对于平面 R ^ n,我们有 exp (a * nabla) f (x) = f (exp _ x (a))。这能推广到一般的流形吗?如果我把 nabla 理解为不是一个正常的渐变,而是一个共变导数,这是真的吗?如果你对此有什么想法,请告诉我。我希望这是真的,因为它连接了不同的“指数”思想。 进一步阅读 1️⃣ Exp vectors 黎曼几何中的指数图(如果你真的想知道为什么这只是一个通常意义上的广义指数图,而不是只有相同的“哲学”,那么去李理论的关系部分——当他们说翻译时,他们的意思是在左/右乘以 g,李群的一个群元素) : https://en.wikipedia.org/wiki/exponen ...) 为什么微分几何中的指数映射是有用的: https://en.wikipedia.org/wiki/normal_ ..。 Something 在处理上面的链接之前,你可能还需要先学习这些知识 黎曼度量: https://www.ime.usp.br/~gorodski/teac。 连接(引言是最有启发性的部分) : https://en.wikipedia.org/wiki/affine_ ..。 Https://math.stackexchange.com/questi. 列维-奇维塔联络(使度量不变的一种特殊的连接) : https://en.wikipedia.org/wiki/levi-ci ..。 2️⃣ Exp d/dx 我所描述的是一种用特征(识别特征曲线,沿着它变成一个常微分方程)的方法来求解偏微分方程的 https://en.wikipedia.org/wiki/method_ ..。 偏微分方程是波动方程的一部分 https://en.wikipedia.org/wiki/wave_eq。 翻译量子力学: https://en.wikipedia.org/wiki/transla ...) 时间顺序的例子在质量管理: https://en.wikipedia.org/wiki/dyson_s ..。 3 something Exp 向量场 向量流: https://en.wikipedia.org/wiki/vector_ ..。 这更多的是与视频有关: https://en.wikipedia.org/wiki/flow_(m...) 教科书: https://www.worldscientific.com/doi/p ..。 我实际上想说的是,但我认为这个视频足够长,没有包括在脚本中,但是向量场实际上是与微分运算符有关的(并且通常是用微分运算符来描述的) ,在这个意义上,(一阶)微分运算符的指数和向量场的指数都产生了非常相似的东西: https://en.wikipedia.org/wiki/vector_ ..。
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