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高等代数 2.4.3-7 把theta改造成双射
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回到theta上来,我们之前已经看到(BV16m4y1Z78Q),它是单射不是满射。而想要改造成满射,只要修改陪域就可以了(BV1J34y1173d)。所以我们的问题是,到底什么样的陪域是合适的?或者更具体的说,什么样的映射能够成为我们这里定义的矩阵诱导的映射? 这个问题我们在第四章才会给出完整的回答:矩阵诱导定义的映射只可能是线性映射(同态映射),而反过来,任何一个线性映射都可以用某个矩阵来描述。 所以,此处应该把陪域由“相应空间之间所有映射的集合”修改为“所有线性映射的集合”,那我们定义的theta就变成了双射。(在第四章中,我们讨论的实际上是theta的逆映射:sigma。) 更有意思的是,在第四章中我们也会看到,这个双射(一一对应)同时还保持了加法(即矩阵做加法完全等价于对应的两个映射相加)、数乘、乘法。换句话说,矩阵与线性映射几乎就是完全一样的东西。
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