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36. 反函数定理(续): 细品解决问题的思想(问题转化)1. 反函数连续性转化为单调函数连续性问题。 2. 单调函数间断点是否可列问题转换成有理数可列问题
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反函数定理围绕几个问题展开: 什么样的函数存在反函数? 由于反函数首先需要是单射,因此先讨论连续函数是单射的充要条件。然后得到反函数存在定理: 连续严格单调函数存在反函数,且单调性与原函数相同。 反函数的连续性如何? 然后为了研究反函数的连续性,首先对单调函数的断点进行分析,得到单调函数的断点只能为第一类型。 继而得到关于单调函数连续性准则。 最后整合反函数存在定理和单调函数连续性准则,得到反函数定理,完美解决了反函数存在性和连续性两个大问题,以及对应的几个小问题。 以上为反函数定理这部分的整体 反函数连续性归结为单调函数连续性分析。而单调函数连续性从对立面间断先探讨起来,研究间断点的类型特点,顺便给出两个推论。 其中一个推论表明间断点能对函数值域产生一个开区间,这个开区间里边不对应任何其他点的函数值;而且不同间断点产生的这些开区间不重叠。由这个开区间的不重叠性质,我们继而得到如果单调函数有很多间断点,那么这些间断点和实轴上的不重叠点建立一一对应,而实数轴上的不重叠区域又跟区域内任选一个有理点建立一一对应,有理数和自然数集之间存在一一对应关系,于是把单调函数的间断点可列问题,直接转换成有理点的可列问题,最终得到间断点必定是最多可数集。 整个过程自然而然,思路还是很美妙的,值得细品。 最后我们得到单调函数的连续准则,也就是连续单调函数它的值域刚好是定义域两个端点函数值所构成的闭区间。 连续单调函数的连续性问题得以解决,我们反函数的连续性问题也就解决了。于是最终汇总成反函数定理。
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