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数学之美-编程实现唯美幽灵曲面生成过程
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从数学角度来看,Ghost Plane Surface(幽灵平面曲面)是一种特殊的参数化曲面,它有着独特的几何性质和表示形式。 ### 参数化方程 Ghost Plane Surface的参数方程如下: x = cos(u) sinh(t) / (cosh(t) - cos(u)) y = cos(u) sin(u) / (cosh(t) - cos(u)) z = sin(u) 其中,参数 u 和 t 的范围为: -pi <= u <= pi -pi <= t <= pi ### 几何性质 1. **对称性**: - 参数 u 控制 z 方向的变化, \sin(u) 在 [-π, π] 范围内是对称的,因此曲面对称于 z = 0 平面。 - 参数 t 控制 x 和 y 方向的变化,由于 \sinh(t) 和 \cosh(t) 的奇偶性质,曲面在 t = 0 处是对称的。 2. **曲面特性**: - 当 t = 0 时,\cosh(0) = 1,所以 x = 0 和 y = \frac{\cos(u) \sin(u)}{1 - \cos(u)} 。在这种情况下,曲面在 z 方向上的形状类似于一个正弦波。 - 当 u = 0 或 u = \pi 时,\sin(u) = 0,曲面在这些位置上交于 z = 0 平面。 3. **奇点和自相交**: - 在特定参数值组合下,曲面可能会出现奇点或自相交现象,这取决于参数化方程的分母 \cosh(t) - \cos(u) 是否为零。这种情况发生在 \cosh(t) = \cos(u) 时。
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