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解根式方程很难,用换元法把根式方程化为比较简单的整式方程去做
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-解根式方程很难,用换元法把根式方程化为比较简单的整式方程去做 这是在网上看到的初中数学培优题解方程,感觉有点难,于是研究了一下。 题目:解方程:2√(x²-1)+√(x²-4)=x²。 解题分析:解根式方程一般都是等式两边同时平方去掉根号,但是这道题如果这样去做,会得到一个八次方程,对于初中生来说不太好做,而且计算量很大。那么考虑用变量替换去掉根号解方程,当然还不一定能够解出,先试一下。 令a=√(x²-1),b=√(x²-4), 有a²=x²-1,b²=x²-4, x²=a²+1=b²+4,a²-b²=3,① 把a、b代入原方程有 2a+b=a²+1=b²+4, b=a²-2a+1=(a-1)²,② ②代入①得a²-(a-1)⁴=3。 这是一个四次方程,而且看起来比较好解。 我们知道,初中生解高次方程一般都用观察法找到特殊解,通过因式分解降次,最后解一元二次方程。我们看一下方程a²-(a-1)⁴=3,很快就能发现2是方程的一个解,四次方程就可以化为三次方程。 a²-(a-1)⁴=3,a²-(a²-2a+1)²=3, a²-(a⁴+4a²+1-4a³+2a²-4a)=3 a⁴-4a³+5a²-4a+4=0, a⁴-2a³-2a³+4a²+a²-2a-2a+4=0, (a-2)(a³-2a²+a-2)=0, 显然,因式(a³-2a²+a-2)中有因式a-2, (a-2)²(a²+1)=0,所以,a=2,b=1。 x²=5,x=±√5。 总结一下:根式方程不好解,除了等式两边同时平方,我们还可以用换元法。用换元法可以把根式方程化为比较简单的整式方程,这个整式方程如果是高次方程,就用我再三说过的用观察法降次,最后化为一元二次方程解出。
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