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整数不等式,分段估计
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这是道2023年西部赛的不等式. 题目本身体量不算太大,结论也不强,解决的关键在于找到适合的入手点. 我尝试本题时,会先想到进行化归:不妨设(a,b)互素,以及不妨设a<b, n<b. 所谓化归,就是增加条件P,并且说明“只要证明了增加条件P情况下的结论,就证明了原本的结论”. 此后这些条件可能会对问题的解决有利. (尽管对于本题后续步骤而言,似乎没起到作用) 而后观察了一些特殊情况的a、b时被求和项的规律,发现(特别是a较小时)被求和项是分若干段的以a为公差的等差数列. 注意到了要求的上界估计①并不强②跟公差a有关,就想到了分段估计并且考察每段的首项和末项. 首项需要被发现“必然小于等于a”(反证逻辑),而末项进行平凡的上界估计 小于等于b 就足够了. 借助分段估计,整合起来就得到题目的结论了. 如果回看分段估计的方法,会发现即使不做上述的化归,也能够用该分段估计完成证明. 因此如果是写答卷,是可以不写化归过程直接把思考的结果以最简洁的方式写上去的. 不过如果是整理自己笔记的话,思考的步骤也是值得总结的. 或许这种化归的想法在本题没有直接奏效,但在寻找思路的过程中,因为化归到了“核心情况”,才抓住了问题的主要矛盾,这时更容易寻找到适合的思路. 知识点:同余、互素、完全剩余系、等差数列求和公式、和式变换. 方法(数列不等式/组合):分段估计.
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