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数学备菜:常微分方程 第1讲【经典量子力学6-1】
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在解薛定谔方程之前,我们要先了解如何解微分方程。本节课简单介绍了微分方程的概念和必要性,然后详细讨论了两种最基础的常微分方程解法。 第一种解法是变量可分离方程,顾名思义,就是各变量可以完全分开,使得等式的同一侧只有一种变量出现,这样就可以分别积分了。分离变量的过程涉及移项,于是我们证明了对于微分方程,移项也是合理的。微分方程中没有出现积分符号,我们也证明了分离变量后直接添上积分符号和积分常数是可行的,又简单证明了初始条件(即已知方程曲线必经过某一给定点)相同时变量可分离方程的解应是唯一的,于是只要找到符合条件的解便可确定这就是所有解了。 第二种解法是常数变易法。有些方程的形式可能过于复杂,此时我们就可以考虑改写其中一部分,把它化为容易求解的形式,求解后把待定的常数改成待定函数,代回原始方程,得到待定函数的一个新方程。如果能把这个新方程解出来,那么也就解出了原始方程。 尽管分离变量作为一种方法是最最最简单的,但我还是多花了些工夫好好讨论为什么分离变量可行。
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