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旋转,四元数,正交群,特殊正交群【经典量子力学4-1数学备菜】
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今天是数学预备课,这数学就是比物理有意思,讲着讲着就没把控好时长(所以我为什么要说自己是搞物理的……) 本节课讲了旋转的本质,即特殊正交变换; 接着介绍了四元数的概念,然后就证明了单位四元数和三维欧几里得空间的旋转之间的对应。注意,这是一个二重覆盖,即通常是两个单位四元数对应同一个三维旋转(除了标部为0的四元数)。一个三维旋转可以表示为一个三维向量,于是全体三维旋转构成的集合就可以表示为一个实心球。视频中没说,但这个球就是一个流形,同时上面有一个和流形光滑相容的群运算,所以是一个李群。啊,这不重要,总之单位四元数构成的空间不是三维实心球D^3,而是三维球面S^3。后者不好想象,但可以降一个维度,考虑二维圆盘D^2和二维球面S^2之间的关系,就能看出为什么是二重覆盖、以及边缘没有二重覆盖了。 下节课预计讲一讲四元数的矩阵表示,讨论SU(2)的结构,然后就可以把SO(3)和SU(2)的关系理清楚了,之后讲自旋才好用。
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