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一道轮换不等式,两种方法
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在Aops上看到的一道题. 无约束,正变量,轮换不等式. 方法1:借助一个局部不等式,作为引理,直接完成放缩. 技巧性太高. (我也给不出”观察出此结论“的合理解释) 方法2:利用轮换性,设出最小元素,采用”对换调整“的思路将其从轮换的”圈“当中剥离出来,而后采取归纳法完成证明. 同样需要一定的技巧性. 方法2显然比方法1麻烦,但个人认为法2思路相比而言更自然一些. 至于为何想到”对换调整“,其实跟排序不等式的证明方法有类似之处. 尽管竞赛考试不会考基本结论的证明,但其证明方法是可以借鉴的. 同样地,所谓”凸函数排序不等式“并非知识点,甚至不是”二级结论“(更像是个黑科技),但对其有所耳闻或多或少会有些好处——至少能让自己在猜测结论时更加有把握. 熟悉排序不等式的证明的话,这个结论也就非常自然了. 知识点:基本不等式、轮换式的”设最小(或最大)“、数学归纳法. 方法:排序不等式的”对换调整“证明法.
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