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两个变量的积为定值,怎样求这两个变量和的最值
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-这是在网上看到的求最值题。 题目:已知a>1,且(a-1)(b-3)=9,求a+b的最小值。 解题分析:这种题目,或者这一类题目,解法都是一样的。不要以为只有学霸会做,你们学会了方法都可以做,而且很简单。用最简方法,学最难数学,这是我的愿望,也是我努力的方向。 两个变量的乘积为定值,这是我们学过的反比例函数。我们作一个平移变换,令x=a-1,y=b-3,则xy=9,因为a>1,所以x>0,y>0,就是反比例函数在第一象限的图像。 方法一,用基本不等式求最值。 x=a-1,y=b-3, a+b=x+y+4, 求a+b的最小值就是求x+y的最小值。 x+y≥2√(xy)=2√9=6, 所以,x+y的最小值是6, a+b的最小值为6+4=10。 方法二,用线性规划原理求最值。 令x+y=k,y=k-x,代入xy=9得 x(k-x)=9,x²-kx+9=0, 直线x+y=k与反比例函数xy=9相切的切点为最值点,所以方程的判别式⊿=k²-4×9=0,k²=36,k=6。 所以,x+y的最小值是6, a+b的最小值为6+4=10。 总结一下:这类题目属于基本求最值题,比较简单,也容易理解,希望大家都能掌握解题方法。平移变换,反比例函数,基本不等式,都是数学基本概念,要会灵活运用。
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