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怎样求两个根式和的最大值
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这是网上看到的数学题。 题目:求y=√(x-1)+√(5-x)的最大值。 解题分析:因为是根式,所以根号内的值为非负数,x-1≥0,5-x≥0,1≤x≤5,因为x在闭区间有界,所以y有最大值和最小值。 但是,我们怎样去求y的最大值和最小值呢?好像不太好做。 设a=√(x-1),b=√(5-x),则有 a²=x-1,b²=5-x,a²+b²=4, 也就是说,已知a≥0,b≥0,a²+b²=4,求a+b的最大值。现在看起来是不是感觉似曾相识? 方法一:用基本不等式求最值。 (a+b)²=a²+b²+2ab≤a²+b²+a²+b²=8, (a+b)²的最大值是8, a+b的最大值就是√8=2√2。 方法二:就是我经常讲的线性规划求最值。 设a+b=k≥0,代入a²+b²=4得 a²+(k-a)²=4, 2a²-2ka+k²-4=0, 因为在切点处取得最大值,所以 根的判别式⊿=4k²-8(k²-4)=0, 4k²=32,k²=8,k=2√2。 a+b的最大值为2√2。 总结一下:只要数学概念清楚,勤于思考,解题会有很多方法,可以灵活运用。 另外请大家思考一下,怎样求y的最小值? 这是网上老师的解答,大家可以参考一下。
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