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定和调整法证明对称多项式的不等式
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一位网友问的问题。 个人认为这个不等式还是非常有意思的。其特点是“多重取等条件”:其中一部分数(至少两个)相等,另外的数全为零时,等号成立。 这类问题往往是非常有难度的,因为绝大多数放缩方法都会放过,难以兼顾多重等号条件。标答的做法推导多项式的恒等式,说实话我没看懂。 我采取的方法是调整法,锁定和,锁定n-2个元素,只对2个进行条件。通过观察式子的形式,可以将目标函数改写为调整的两个变量的积*某个常数+某个常数 的形式。 为了避免无限步调整,我们利用了“有界闭集的连续函数一定达到最小值”的结论,直接对于极值进行分析。为了方便处理有零的情况,采用了归纳法。最终只需要讨论全部相等的情况,这时借助组合恒等式来论证其不等式成立(且等号成立)。 其实原来的题目还要求讨论取等的充要条件。这件事情我所讲的方法就说不清楚了。可以看到调整法确实有局限性。不过我们必须承认,这题如果放缩证明,难度是非常大的,但是借助调整的思想却至少能把不等式证明出来,也说明了调整法是非常重要的思想方法。 知识点:初等对称多项式、调整法、组合恒等式、二项式定理。
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