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证明柯西-施瓦茨不等式的巧妙方法:用一元二次方程根的判别式证明
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柯西-施瓦茨不等式:对任何实数a₁、a₂、...、aₓ,b₁、b₂、...、bₓ,x为正整数,不等式(a₁b₁+a₂b₂+...+aₓbₓ)²≤(a₁²+a₂²+...+aₓ²)(b₁²+b₂²+...bₓ²)成立。 柯西-施瓦茨不等式应用极广,中学生应该熟练掌握,在解题时才会游刃有余。现在我们学习一种巧妙的方法证明这个不等式。 证明:令 B=a₁b₁+a₂b₂+...+aₓbₓ, 2A=a₁²+a₂²+...+aₓ², 2C=b₁²+b₂²+...bₓ²。 原不等式可以化为 B²-4AC≤0,这是我们熟知的一元二次方程根的判别式。 设f(X)=AX²+BX+C, 只要f(X)≥0,就有B²-4AC≤0。 我们看看f(X)是否≥0。 f(X)=AX²+BX+C =(a₁²+a₂²+...+aₓ²)X²/2+(2a₁b₁+2a₂b₂+...+2aₓbₓ)X/2+(b₁²+b₂²+...bₓ²)/2 =(a₁²X²+2a₁b₁X+b₁²)/2+(a₂²X²+2a₂b₂X+b₂²)/2+...+(aₓ²X²+2aₓbₓX+bₓ²)/2 =(a₁X+b₁)²/2+(a₂X+b₂)²/2+...+(aₓX+bₓ)²/2 ≥0, 所以,B²-4AC≤0,即 (a₁b₁+a₂b₂+...+aₓbₓ)²≤(a₁²+a₂²+...+aₓ²)(b₁²+b₂²+...bₓ²)。 我们可以把这个不等式简单记为: 积和方不大于方和积。
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