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一道数学竞赛几何难题独一无二的解法
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这是网上看到的数学竞赛几何难题。 题目:正方形内一点, 到正方形三个顶点的距离分别是7、4、9, 求正方形的边长或面积。 思考了较长时间。 显然要做辅助线, 但是不知从何处下手。 经过尝试, 终于找到独一无二的做法。 如图。P是正方形内一点, 已知PA=7,PB=4,PC=9。 设PD=x。 把△ABP逆时针旋转90°得到△ADE, 把△CBP顺时针旋转90°得到△CDH。 同理, 把△ADP顺时针旋转90°得到△ABF, 把△CDP逆时针旋转90°得到△CBG。 也就是把组成正方形的四块三角形 绕正方形的两个对角顶点 各转90°转到正方形外面来了。 此时E、D、H三点共线, E、A、F三点共线, F、B、G三点共线, H、C、G三点共线。 显然,四边形EFGH的面积 是正方形ABCD面积的两倍。 连接PE、PF、PG、PH, 可以算出它们的长度。 我们容易知道, S△PEH=S△PFG。 △PEH三边的长为8、7√2、9√2, △PFG三边的长为2x、7√2、9√2, 利用两个三角形面积相等, 得到一个含有x的方程, 可以求出x的大小, 即PD的长度。 x求出来了, 所有三角形的面积也都可以求出, 正方形的面积也就求出来了。 其他的解法只看到一种, 感觉很难找到那样的思路。 如果以前没有做过, 一般很难在竞赛时能够做出来。 我想到考试与学习的矛盾。 一道比较难想到思路的几何题, 显然很难在考试规定的时间内完成。 如果你以前做过, 这样得到的分数意义也不大。 因此我们需要一套普适的学习方法, 引导学生能够正确思考, 从山重水复到柳暗花明。 这正是我努力的方向。 这里是轻松简单学数学, 用最简方法,学最难数学。 我们可以用电脑技术去提高工作效率, 而要提高学习效率好像更加困难一些。
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