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先换元再解高次方程,使解题过程变得简单
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-先换元再解高次方程,使解题过程变得简单 这是在网上看到的初中数学解方程题。 题目:解方程:(x+2)⁴+(x+1)⁴=1。 解题分析:解高次方程用观察法找到特殊解,降次后解一元二次方程。这道题很容易发现-1和-2是方程的解,但是展开求解的话,计算量比较大,可以考虑先换元再解方程。 令t=x+1,则方程化为(t+1)⁴+t⁴=1, t⁴+4t³+6t²+4t+1+t⁴=1, 2t⁴+4t³+6t²+4t=0, t⁴+2t³+3t²+2t=0, t(t³+2t²+3t+2)=0, t(t³+t²+t²+t+2t+2)=0, t(t+1)(t²+t+2)=0, t=0,x=-1,或t=-1,x=-2, 或t²+t+2=0,无实数解。 总结一下:用换元法解高次方程比直接展开要简单一些,解高次方程一般用观察法找到特殊解,最后解一元二次方程。如果是四次方程找不到特殊解,可以尝试用待定系数法分解成两个二次因式,再解一元二次方程。
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