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【Proof-Trivial】最优传输中的【几何】与【动力学】(Fields Institute)
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本课程介绍了围绕最优输运的活跃研究领域以及它与几何学、物理学、非线性偏微分方程和机器学习问题的深刻联系。基本问题是找到将两个或多个连续质量分布链接起来的最有效结构 —— 想象将一团电子云与一团正电子云配对,以使平均消失距离最小化 应用包括具有预定高斯曲率表面的存在性、唯一性和正则性(底层偏微分方程是蒙日-安培方程)、具有尖锐常数的几何不等式、图像处理、最优决策制定、耗散系统的长时间渐近性质,以及流体运动的几何学(欧拉方程和适用于大气、海洋、阻尼和多孔介质流的近似)。该课程建立在分析的背景之上,包括测度论,但将根据需要从变分法、博弈论、微分方程、流体力学、物理学、经济学和几何学中发展元素 一个特定目标是揭示度量测度几何中曲率和维度发展的理论,这为从黎曼几何和洛伦兹几何中的强大思想适应非光滑设置提供了框架,这些非光滑设置在应用中自然产生,并作为光滑问题的极限出现 该课程旨在帮助研究生为2022年秋季 Fields 主题学期的非光滑黎曼和洛伦兹几何做好准备 先修课程:实分析 References: F Santambrogio. Optimal transport for applied mathematicians. Birkhauser 2015. Ambrosio, Gigli and Savare: ‘Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures’. Birkhauser 2005 (and subsequent works). D Burago, Y Burago and S Ivanov “A course in metric geometry” AMS 2001. Figalli: The Monge-Amp`ere equation and its applications. EMS 2017. McCann and Guillen ‘Five lectures on optimal transport’ In Analysis and Geometry of Metric Measure Spaces G. Dafni et al, eds. Providence: Amer. Math. Soc. (2013) 145-180 Villani: ‘Topics in Optimal Transportation’, AMS GSM #58 2003 Villani ‘Optimal Transport: Old and New’, Springer-Verlag 2009
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