趋于有限点函数极限存在的充要条件是左右极限存在且相等
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函数极限的性质，极限存在则唯一（趋于有限）
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复合函数极限运算法则，内函数右极限外函数趋于某点
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趋于有限点时函数极限的等价定义，也即证明了趋于有限点时极限存在，等价于左右极限存在且相等。
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函数极限保号性的推论1，局部大于等于0，则极限大于等于0
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极限存在法则之函数夹逼准则
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趋于负无穷时函数极限的等价定义3
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证明了可导必连续。
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在自然数集的笛卡尔积上定义一个等价关系（两对自然数差相等，则它们等价，为同一个整数）以便用自然数构造整数
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函数极限保号性的推论2，局部小于等于0则极限小于等于0
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数集下界的等价定义4
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有理整式函数在其定义域内连续
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函数极限的局部保号性，极限大于0则局部大于0
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用数学归纳法证明泰勒中值定理（带皮亚诺余项）
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余弦函数的导函数，用到了差化积公式和等价无穷小替换
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下确界的等价定义2
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数集有下界的等价定义5
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集合有下界的等价定义3
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求极限，利用有界函数与无穷小的积还是无穷小
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例题，用到了重要极限2
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不动点的存在性证明，用到了零点定理。
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求概率，五局三胜制
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有序对相等等价于对应位置元素相等
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瓜豆原理1
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戴德金-皮亚诺结构（皮亚诺公理/公设），给出了自然数集的定义。
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矩阵乘法的结合律证明
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数集有界的等价定义1
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数集有界的等价定义4
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数集有界的等价定义3
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例题求极限，根式有理化，函数在求极限过程中的等价变形
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陈纪修-数学分析-课后习题-8.2节-题7-P1
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例题，用到了重要极限2
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例题，解复合函数不等式（三角函数）
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余割函数导数公式
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两个单元集相等等价于元素相等
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整数的乘法定义是良定义（乘法运算不依赖等价类的代表元素的选取）
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关系为关系逆的子集，等价于关系逆为关系的子集，等价于关系等于关系逆
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例题，公切线问题
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自然数集中，1乘以任何自然数等于该自然数
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自然数集中，0乘以任何自然数为0
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伪双元集和单元集相等，等价于所有元素相等