在自然数集的笛卡尔积上定义一个等价关系（两对自然数差相等，则它们等价，为同一个整数）以便用自然数构造整数
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整数的乘法定义是良定义（乘法运算不依赖等价类的代表元素的选取）
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0是自然数集上关于加法的唯一单位元
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整数集上的乘法满足右分配律
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整数集中，两个数和为0等价于一个数是另一个数的相反数
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例题求概率，条件概率公式。
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一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性发生改变
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两个自然数相等，则加上同一个自然数也相等
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数集有界的等价定义4
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瓜豆原理1
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两个无穷小等价的充要条件，一个无穷小等于另一个无穷小加上其高阶无穷小
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自然数集中，0小于等于任何自然数，即0为自然数集的最小元。
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整数集上乘法的右消去律
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P58第5题
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胡不归模型
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数集下界的等价定义4
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余弦函数的导函数，用到了差化积公式和等价无穷小替换
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由戴德金定理证明确界原理
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矩阵乘法对加法的左分配律
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自然数集加法性质，0加n等于n
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例题求均值，并比较
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下确界的等价定义1
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半角模型之扇形
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自然数集上的加法满足结合律
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证明了线面垂直的判定定理。线两交线垂直，则线面垂直
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趋于有限点时函数极限的等价定义，也即证明了趋于有限点时极限存在，等价于左右极限存在且相等。
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关系的对称性的等价定义2
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自然数集中，0是关于乘法的唯一零元
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容斥原理之3集合并集的元素个数
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集合上确界的等价定义2
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伪双元集和单元集相等，等价于所有元素相等
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数集有界的等价定义3
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函数有非零极限，则函数的绝对值局部有下界
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自然数集中每个正的自然数原像唯一（每一正的自然数可唯一表示为自然数加1）
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例题求概率，用到独立事件积事件概率
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由确定的椭圆求离心率
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泰勒中值定理（带拉格朗日余项），用到了柯西中值定理
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两个自然数和为0，则它们都为0
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费马引理，局部最小值处如果可导则导数为0
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数集有下界的等价定义5
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线圆相切，切线长最小问题