证明了重心的性质，重心的坐标与顶点坐标的关系
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证明了平面向量数量积运算满足分配律
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证明了二项分布的方差为np(1-p)
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抛物线的性质，焦点弦带来垂直和线圆相切。
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用向量证明点线距离公式
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证明了平面向量数量积的坐标表示
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用向量证明三角形三条高交于一点
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证明了可导必连续。
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证明了二项分布的均值（期望）为np
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证明了圆的标准方程
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双变量求最值，两次放缩
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自然数集中，任何一个自然数不小于自己
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证明了向量的加法交换律
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用两点距离公式证明了差角的余弦公式
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证明了比例的性质，上比下等于上比下，等价于上比全等于于上比全，等价于下比全等于下比全。
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等腰三角形底边任意一点到两腰距离之和等于腰上的高，等面积法
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自然数集加法性质，0加n等于n
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双变量求最值（两次放缩）
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抛物线的性质，90度与线圆相切
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证明了条件概率公式
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椭圆焦半径公式（单变量为角度），椭圆第二定义证明。
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0矩阵性质，0矩阵右乘它的可乘矩阵结果还是零矩阵
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自然数集中，两个自然数积为0，则有一个为0（正的自然数没有零因子）
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图形的放缩，长度之比不变
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自然数集中，0是关于乘法的唯一零元
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A上关系的任意整数次复合也是A上的关系
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定义了自然数集上的二元关系小于等于和小于
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自然数集中，1乘以任何自然数等于该自然数
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证明了椭圆的焦点三角形旁切圆切x轴于顶点
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对数的运算性质，指数前移作分子
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证明了两组对边平行等价于两组对边相等
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二次函数恒成立问题，R上恒大于0
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例题求二面角。图形放缩。
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证明了角为90度等价于顶点落在对边为直径的圆上
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不动点的存在性证明，用到了零点定理。
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任意三角形射影定理
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二元一次方程组之间的等价
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证明了二项式定理，用数学归纳法
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由戴德金定理证明确界原理
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抽象函数的定义域问题本质理解
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证明了抛物线性质，焦点弦为底的三角形面积公式