两个元素具有等价关系，等价于它们等价类相等
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两个单元集相等等价于元素相等
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两个有一对元素对应相等的伪双元集相等，等价于剩余一对元素对应相等
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关系的反自反的等价定义
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关系的复合对交集的分配律
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元素x存在左右逆元，则它们相等都为x的唯一逆元。（逆元存在则唯一）
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瓜豆原理1
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两个集合卡氏积为空集，等价于有个集合为空集
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在自然数集的笛卡尔积上定义一个等价关系（两对自然数差相等，则它们等价，为同一个整数）以便用自然数构造整数
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容斥原理之3集合并集的元素个数
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数集有下界的等价定义5
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X0处可微等价于X0处可导
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上确界的等价定义3
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任意两个自然数所成有序对都可以对应成一个整数
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证明了两组对边平行等价于两组对边相等
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整数集中，两个数和为0等价于一个数是另一个数的相反数
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下确界的等价定义3
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两个自然数相等，则加上同一个自然数也相等
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关系的逆再逆等于自己
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数集有界的等价定义3
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【数理逻辑】集合论（1）：集合、元素与子集
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数集有上界的等价定义3
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整数集上0乘以任何数都等于0
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整数集上的乘法满足右分配律
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趋于负无穷时函数极限的等价定义3
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斜渐近线的公式证明。
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趋于有限点时函数极限的等价定义，也即证明了趋于有限点时极限存在，等价于左右极限存在且相等。
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证明了反证法的合理性
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空集与集合的卡氏积为空集
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趋于负无穷时函数极限的等价定义2
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一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性发生改变
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证明了二项分布的方差为np(1-p)
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整数集上的加法满足结合律
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趋于正无穷时函数极限的等价定义2
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证明了数列极限的唯一性，法2
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不动点的存在性证明，用到了零点定理。
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卡氏积对交满足左分配律
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自然数集中，小于等于的等价形式
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在平行四边形的基础上，一角为直角等价于对角线相等
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解释了0.9循环为什么等于1
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过直线与线外一点有且只有一个平面。