关系是传递的等价于关系与自身复合是自身的子集
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关系为关系逆的子集，等价于关系逆为关系的子集，等价于关系等于关系逆
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元素属于传递关系的整数次幂，则元素属于这个传递关系
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自然数集上的小于等于关系是传递的
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集合有下界的等价定义3
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自然数集中小于的等价形式
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数集有上界的等价定义3
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两个集合卡氏积为空集，等价于有个集合为空集
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下确界的等价定义1
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集合上确界的等价定义2
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自然数集中，小于的等价形式
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余弦函数的导函数，用到了差化积公式和等价无穷小替换
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下确界的等价定义3
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例题求概率（按密码），条件概率公式
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证明了二项分布的方差为np(1-p)
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等差数列的等价定义，Sn型
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元素属于集合等价于元素满足集合描述法中的条件
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趋于正无穷时函数极限的等价定义1
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自然数集中，乘法对加法满足右分配律
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伪双元集和单元集相等，等价于所有元素相等
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自然数集中，小于等于的等价形式
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趋于正无穷时函数极限的等价定义3
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趋于正无穷时函数极限的等价定义2
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自然数集中，小于等于等价于加同一个数也是小于等于
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两个连续存在量词可交换顺序
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给出来函数关于直线对称的等价定义。和定对：即和为定值时出现对称。
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集合运算性质1
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例题求极限，根式有理化，函数在求极限过程中的等价变形
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例题，用到了重要极限2
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复合映射满足结合律
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求概率，五局三胜制
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有序对相等等价于对应位置元素相等
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自然数集中，小于与小于等于的联系
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自然数集中，任何自然数小于这个自然数的后继
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趋于有限点时函数极限的等价定义，也即证明了趋于有限点时极限存在，等价于左右极限存在且相等。
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自然数集中，0小于等于任何自然数，即0为自然数集的最小元。
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给出了等差数列的等价定义2，通项公式式
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集合的运算性质3
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自然数集上的小于等于关系是自反的
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自然数集中，任何一个自然数不小于自己